忘了初中的东西、看到公式就头大？没关系。
这一页我们从最基础的符号讲起，每个概念先讲"人话"，再看例题，例题一步一步写给你看。
这些符号一出现你就慌，其实它们都只是"缩写"。看一遍，混个脸熟就行。
| 符号 | 怎么读 | 人话意思 | 举个例子 |
|---|---|---|---|
| = | 等于 | 左右一样 | 2+3 = 5 |
| ≠ | 不等于 | 左右不一样 | 2 ≠ 3 |
| < > | 小于 / 大于 | 比大小，尖头对着小的 | 2 < 3 |
| ≤ ≥ | 小于等于 / 大于等于 | 比大小，还允许相等 | x ≥ 2 表示 x 可以是 2 |
| x, a, n | 字母 | 代表"某个数"，不知道具体多少 | x + 1 = 3 时，x 就是 2 |
| x² | x 的平方 | x 自己乘自己 | 3² = 3×3 = 9 |
| √ | 根号 | "谁的平方等于它" | √9 = 3（因为 3²=9） |
| |x| | x 的绝对值 | 去掉负号，只留大小 | |−5| = 5 |
| π | π（派） | 一个固定的数，约等于 3.14 | 圆的周长 = 2πr |
| ∈ | "属于" | 这个东西在某个框里面 | 2 ∈ {1,2,3} |
| ∪ | "并集" | 两个框合起来 | {1,2} ∪ {2,3} = {1,2,3} |
| ∩ | "交集" | 两个框都有的部分 | {1,2} ∩ {2,3} = {2} |
| ⇒ | "推出" | 前面成立，后面就成立 | x > 3 ⇒ x > 1 |
| f(x) | "f 括号 x" | 一个"加工机器"，输入 x | f(x)=2x+1，则 f(3)=7 |
| aₙ | "a 下标 n" | 一排数里的第 n 个 | 数列 2,4,6… 中 a₃=6 |
| Σ | "西格玛" | 把一串东西全加起来 | Σ 表示求和 |
看不完不要紧，后面用到哪个再回来查。
高中的所有题，最后都要落到这几个初中工具上。它们不会，高中寸步难行。
方程就是"让左右两边相等的 x"。比如 x² − 5x + 6 = 0，怎么找到 x？
方法一：因式分解（十字相乘）
把 x² − 5x + 6 拆成两个括号相乘：(x − 2)(x − 3)。
两个括号相乘等于 0，说明至少有一个括号是 0：
所以答案是 x = 2 或 x = 3。
看 x² − 5x + 6，我们要找两个数：相加 = −5，相乘 = 6。
试一下：−2 和 −3 → 相加 −5 ✓，相乘 6 ✓。成功！
写成 (x − 2)(x − 3)。口诀：找两数，和是中间项，积是最后项。
用数字试一下：(2+3)² = 5² = 25；而 2² + 2×2×3 + 3² = 4 + 12 + 9 = 25 ✓
直角三角形里，两条直角边的平方和 = 斜边的平方。
最常用两组：3-4-5（3²+4²=9+16=25=5²）、5-12-13。记住它们能省很多计算。
例：直角边 6 和 8，斜边 = √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10。
把根号里能开出来的"平方数"提出来。
例：√8。先想 8 = 4 × 2，而 4 是 2²，能提出来：
背一下常用平方数：1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144…
y = 2x + 1 的意思是：给一个 x，算出 y。
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| y = 2x+1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
你会发现：x 每多 1，y 就多 2。这个"多 2"就叫斜率。
人话：一个"集合"就是一个框，里面装几个东西。比如 {1, 2, 3} 就是一个装了 1、2、3 的框。
| 操作 | 人话 | 例子 |
|---|---|---|
| 交集 A ∩ B | 两个框都有的 | {1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2,3} |
| 并集 A ∪ B | 两个框合起来（重复的只算一次） | {1,2,3} ∪ {2,3,4} = {1,2,3,4} |
| 补集 | 全家里不在这个框的 | 全家{1,2,3,4}，A={1,2}，补集={3,4} |
已知 A = {x | −1 < x < 3}，B = {x | x ≥ 2}，求 A ∩ B。
答案：A ∩ B = {x | 2 ≤ x < 3}。
💡 这类题画个数轴，涂两段颜色，看重合的部分，最直观。
人话：f(x) = 2x + 1 就是一台机器 —— 你往里面放一个 x，它按规则算出结果吐出来。
| 你输入 x | 机器做的事 | 输出 f(x) |
|---|---|---|
| 0 | 2×0 + 1 | 1 |
| 1 | 2×1 + 1 | 3 |
| 3 | 2×3 + 1 | 7 |
| −2 | 2×(−2) + 1 | −3 |
所以 f(3) 读作"f 在 3 处的值"，就是把 3 放进去得到的结果 = 7。
已知 f(x) = x² − 2x，求 f(3) 和 f(−1)。
答案：f(3) = 3，f(−1) = 3。
⚠️ 易错点：(−1)² 是 +1，不是 −1。负数的平方一定为正。
2³ 的读法："2 的 3 次方"，意思是 3 个 2 相乘：
同理 2⁴ = 16，2⁵ = 32，3² = 9。
问题：2 要自己乘几次才等于 8？ 答案：3 次。写成对数就是：
读作"以 2 为底 8 的对数等于 3"。它问的就是"底数 2 要乘几次才能到 8"。
| 指数写法 | 对数写法 | 人话 |
|---|---|---|
| 2³ = 8 | log₂8 = 3 | 2 乘 3 次得 8 |
| 10² = 100 | log₁₀100 = 2 | 10 乘 2 次得 100 |
| 3⁴ = 81 | log₃81 = 4 | 3 乘 4 次得 81 |
一句话记住：指数是"算出结果"，对数是"问要乘几次"。
求 log₂16。
人话：sin、cos、tan 就是直角三角形里两条边的比值，没有别的神秘含义。
拿一个直角三角形，有一个角叫 α：
口诀：sin 对斜、cos 邻斜、tan 对邻。
| 角度 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
这张表考场上可以直接用，背熟能省时间。记忆法：sin 是 1/2 → √3/2 → 1 递增，cos 反过来。
计算 sin 30° + cos 60°。
答案：1。
人话：按顺序排好的一串数，就是数列。
① 等差数列：每次"加"同一个数
这个"每次加的数"叫公差，记作 d。这里 d = 3。
第 n 个怎么算？从第一个 2 开始，加 (n−1) 次：
例：第 10 个 = 2 + 9×3 = 29。
② 等比数列：每次"乘"同一个数
这个"每次乘的数"叫公比，记作 q。这里 q = 3。
例：第 5 个 = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162。
等差数列 1, 4, 7, 10, …，求第 20 项。
答案：58。
人话：概率 = 符合条件的情况数 ÷ 所有可能的情况数。
掷一个骰子（1~6），出现偶数的概率是多少？
答案：1/2（也就是 50%）。
💡 概率永远在 0 和 1 之间。不可能发生是 0，一定发生是 1。
人话：普通的数只说"多远"，向量还会说"往哪边"。
比如"往东走 3 米"，"3 米"是大小，"往东"是方向 —— 合起来就是一个向量。
在平面上，向量可以写成一对数 (x, y)：往右 x 格、往上 y 格。
例：a = (3, 4) 表示往右 3、往上 4。它的长度（模）：
就是"横坐标相乘 + 纵坐标相乘"。
已知 a = (1, 2)，b = (3, 0)，求 a · b。
答案：3。
人话：导数衡量的就是"变化有多快"。
比如开车：
走了 100 公里用了 2 小时 → 速度 = 100 ÷ 2 = 50 公里/小时。
这个"速度"，就是"路程对时间的变化率"。
导数同理：函数值变化得多快，就是导数。
规律：指数抄到前面当系数，指数本身减 1。
| 原函数 | 导数 | 怎么来的 |
|---|---|---|
| x² | 2x | 2 抄前面，指数减 1 |
| x³ | 3x² | 3 抄前面，3−1=2 |
| x | 1 | x 的导数是 1 |
| 5 | 0 | 常数不变，导数为 0 |
求 f(x) = x² 在 x = 3 处的导数。
答案：6。
💡 现在只要会"套这个规则"就够了，含义以后再慢慢体会。到「进阶篇」我们再深入。