基础篇 目标 60-90 分
这些是"必须拿满"的分。公式要背到条件反射，例题要看懂每一步为什么。
🌱 如果这里看不懂，先回 零基础篇 补一遍符号和初中知识。
一、集合与常用逻辑用语
核心结论
- 交集 A ∩ B：同时属于两者的元素；并集 A ∪ B：属于任一个的元素；补集 ∁UA：全集里不属于 A 的。
- 子集个数：含 n 个元素的集合有 2n 个子集、2n−1 个真子集。
- 空集是任何集合的子集。做题先看空集（尤其是含参数的题）。
- 充分条件：p ⇒ q 则 p 是 q 的充分条件；充要条件：p ⇔ q。
典型例题
设 A = {x | −1 < x < 3}，B = {x | x ≥ 2}，求 A ∩ B。
看解析
在数轴上取交集：x 同时满足 −1 < x < 3 且 x ≥ 2，得 2 ≤ x < 3。
答案：A ∩ B = {x | 2 ≤ x < 3}。
二、复数
核心结论
z = a + bi，实部 a，虚部 b；i² = −1
- 共轭复数：z̄ = a − bi。
- 模：|z| = √(a² + b²)。
- 除法：分子分母同乘分母的共轭，把分母变成实数。
- 复数相等 ⇔ 实部、虚部分别相等。
- i 的周期性：i4k=1, i4k+1=i, i4k+2=−1, i4k+3=−i。
典型例题
计算 1 + i1 − i。
看解析
同乘分母共轭 1 + i：(1+i)² / (1−i)(1+i) = (1 + 2i + i²)/(1 − i²) = 2i/2 = i。
答案：i。
三、函数（重中之重）
1. 三要素与性质
- 定义域：分母 ≠ 0；偶次根号内 ≥ 0；对数真数 > 0；tan x 的 x ≠ π/2 + kπ。
- 单调性：f'(x) > 0 递增，f'(x) < 0 递减（也可用定义证明）。
- 奇偶性：f(−x) = −f(x) 奇函数；f(−x) = f(x) 偶函数。定义域必须关于原点对称。
- 周期性：f(x+T) = f(x)，最小正周期为 T。
- 对称性：f(a+x) = f(a−x) ⇒ 关于直线 x = a 对称。
2. 指数与对数（必背公式）
am·an = am+n，
(am)n = amn，
a−n = 1an
loga(MN) = logaM + logaN
logaMN = logaM − logaN
换底公式：logab = logcblogca
alogaN = N
3. 指数函数 / 对数函数
| 函数 | a > 1 | 0 < a < 1 |
|---|
| y = ax | 递增，过 (0,1) | 递减，过 (0,1) |
| y = logax | 递增，过 (1,0) | 递减，过 (1,0) |
两者互为反函数，图象关于直线 y = x 对称。
4. 函数零点
零点定理：若 f(x) 在 [a,b] 上连续，且 f(a)·f(b) < 0，则存在 c ∈ (a,b) 使 f(c) = 0。
典型例题
求 f(x) = x² − 2x − 3 的零点。
看解析
令 x² − 2x − 3 = 0，因式分解 (x−3)(x+1) = 0，得 x = 3 或 x = −1。
四、三角函数
1. 诱导公式（口诀：奇变偶不变，符号看象限）
sin(π − α) = sin α
cos(π − α) = −cos α
sin(π/2 − α) = cos α
2. 同角关系
sin²α + cos²α = 1，
tan α = sin αcos α
3. 和差角与二倍角
sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
tan(α ± β) = tanα ± tanβ1 ∓ tanα·tanβ
sin 2α = 2 sinα cosα
cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α
4. 辅助角公式
a sinx + b cosx = √(a²+b²) · sin(x + φ)，其中 tan φ = b/a
5. 图象性质
| 函数 | 周期 | 最值 | 对称轴 |
|---|
| y = sin x | 2π | ±1 | x = π/2 + kπ |
| y = cos x | 2π | ±1 | x = kπ |
| y = tan x | π | 无 | 无 |
典型例题
化简 sin 15° cos 15°。
看解析
sin15°cos15° = ½ · sin30° = ½ · ½ = ¼。
五、解三角形
正余弦定理（必背）
正弦定理：asin A = bsin B = csin C = 2R
余弦定理：a² = b² + c² − 2bc·cos A
cos A = b² + c² − a²2bc
面积：S = ½ ab·sin C = abc4R = 12(a+b+c)r
典型例题
在 △ABC 中，a = 2, b = 3, C = 60°，求 c。
看解析
余弦定理：c² = a² + b² − 2ab·cos60° = 4 + 9 − 2·2·3·½ = 13 − 6 = 7。
所以 c = √7。
六、平面向量
核心公式
a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| cos θ
坐标式：(x₁,y₁)·(x₂,y₂) = x₁x₂ + y₁y₂
|a⃗| = √(x² + y²)
cos θ = a⃗·b⃗|a⃗||b⃗|
关键结论
- 垂直：a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗·b⃗ = 0 ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0。
- 平行：a⃗ ∥ b⃗ ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0。
- 夹角为钝角：a⃗·b⃗ < 0 且不反向；锐角：a⃗·b⃗ > 0 且不共线。
- 三角形中：\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}（首尾相接）。
典型例题
已知 a⃗ = (1,2), b⃗ = (k,−1)，若 a⃗ ⊥ b⃗，求 k。
看解析
垂直 ⇒ 点积为 0：1·k + 2·(−1) = 0 ⇒ k = 2。
七、数列
1. 通项公式
等差数列：an = a₁ + (n−1)d
等比数列：an = a₁·qn−1
2. 求和公式
等差：Sn = n(a₁ + an)2 = na₁ + n(n−1)2d
等比：Sn = a₁(1 − qn)1 − q (q ≠ 1)，
Sn = na₁ (q = 1)
3. 求通项的常用方法
- 公式法：已知等差/等比直接用。
- 累加法：an+1 − an = f(n) 型。
- 累乘法：an+1/an = f(n) 型。
- 构造法：an+1 = pan + q 型，构造等比。
- 前 n 项和法：an = Sn − Sn−1 (n ≥ 2)，注意验证 n = 1。
4. 求和的常用方法
- 倒序相加（等差求和）。
- 错位相减（等差 × 等比）。
- 裂项相消（1/[n(n+1)] = 1/n − 1/(n+1)）。
- 分组求和（奇偶项分别处理）。
典型例题
等差数列中 a₁ = 2, d = 3，求 S₁₀。
看解析
S₁₀ = 10·2 + (10·9/2)·3 = 20 + 135 = 155。
八、不等式
1. 一元二次不等式
先求方程 ax² + bx + c = 0 的根，结合开口方向写解集（"大于取两边，小于取中间"，注意 a < 0 先化正）。
2. 基本不等式
a + b ≥ 2√(ab)（a,b > 0），当且仅当 a = b 取等
常用变形：ab ≤ (a+b2)²，a + b ≥ 2√(ab)。
3. 绝对值不等式
|x| < a ⇔ −a < x < a
|x| > a ⇔ x > a 或 x < −a
三角不等式：||a| − |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|。
典型例题
已知 x > 0，求 x + 4/x 的最小值。
看解析
基本不等式：x + 4/x ≥ 2√(x · 4/x) = 2√4 = 4，当 x = 2 时取等。
最小值 4。
九、立体几何基础
1. 表面积与体积
| 几何体 | 侧面积 | 体积 |
|---|
| 圆柱 | 2πrh | πr²h |
| 圆锥 | πrl | ⅓πr²h |
| 球 | 4πR² | ⁴⁄₃πR³ |
| 棱锥 | — | ⅓S底h |
2. 平行与垂直的判定
- 线面平行：平面外一条直线与平面内一条直线平行 ⇒ 线面平行。
- 面面平行：一个平面内两条相交直线都平行于另一平面 ⇒ 面面平行。
- 线面垂直：一条直线垂直于平面内两条相交直线 ⇒ 线面垂直。
- 面面垂直：一个平面过另一个平面的一条垂线 ⇒ 面面垂直。
3. 三视图
长对正、高平齐、宽相等。由三视图还原几何体，再算表面积/体积。
典型例题
球半径 R = 3，求表面积与体积。
看解析
表面积 4πR² = 4π·9 = 36π；体积 ⁴⁄₃πR³ = ⁴⁄₃π·27 = 36π。
十、直线与圆
1. 直线方程
点斜式：y − y₀ = k(x − x₀)
一般式：Ax + By + C = 0
斜率：k = tan α = y₂ − y₁x₂ − x₁
点到直线距离：d = |Ax₀ + By₀ + C|√(A² + B²)
- 两直线平行：k₁ = k₂（且截距不同）或 A₁B₂ − A₂B₁ = 0。
- 两直线垂直：k₁k₂ = −1 或 A₁A₂ + B₁B₂ = 0。
2. 圆
标准方程：(x − a)² + (y − b)² = r²
一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0
圆心到弦的距离、半径、半弦长满足：r² = d² + (½l)²
直线与圆的位置关系：d < r 相交，d = r 相切，d > r 相离。
典型例题
求圆 (x−1)² + (y+2)² = 9 的圆心与半径。
看解析
圆心 (1, −2)，半径 r = √9 = 3。
十一、计数原理与概率统计基础
1. 计数原理
排列：Anm = n!(n−m)!
组合：Cnm = n!m!(n−m)!
二项式定理：(a+b)n = Σ Cnk an−kbk，第 k+1 项系数为 Cnk。
2. 概率
- 古典概型：P(A) = A 包含的基本事件数总基本事件数。
- 互斥事件：P(A∪B) = P(A) + P(B)。
- 独立事件：P(AB) = P(A)·P(B)。
- 条件概率：P(B|A) = P(AB)P(A)。
3. 统计
- 平均数、中位数、众数；方差 s² = 1nΣ(xi − x̄)²。
- 频率分布直方图：面积 = 频率，总和 = 1。
- 线性回归：ŷ = b̂x + â，过样本中心点 (x̄, ȳ)。
典型例题
从 5 人中选 3 人排成一排，有多少种排法？
看解析
排列数 A₅³ = 5×4×3 = 60 种。
下一步：把基础篇的公式抄一遍，然后去 训练页 做「基础」难度，确认自己真的会了，再进 进阶篇。